国开《数学分析专题研究》形考作业三（占形考总成绩的20%）

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一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．，则（      ）.

2． 已知，则（      ）.

3．已知，则（      ）.

4．在内是（      ）.

上凸函数

下凸函数

周期函数

有界函数

5．设定义在上，是的极小值点，则（      ）.

有 

，当时，有

6．下列结论正确的是（      ）.

的极值点一定是稳定点

的稳定点一定是极值点

的不可导点一定不是极值点

可微函数的极值点一定是稳定点

7．设是内的严格上凸函数，则（      ）.

在内必取到最大值

在内必取到最小值

在内有

前三个结论都不对

8．有界闭凸集上的下凸函数的最大值必在的（      ）达到.

 内部   

外部

边界

可能在内部也可能在边界

9．下列结论不正确的是（      ）.

凸集的交集是凸集

凸集的并集是凸集

凸集内任意两点连线仍在其内部

凸集的线性组合是凸集

10．

取得极大值

取得极小值

不取极值

无法判断是否取得极值

二、填空题（每小题2分，共20分）（请在答题输入框中输入“见附件”，题目的答案以附件的形式提交）

11．01．函数定义在上，若，有__________，则称是下凸函数.

 

02．设函数定义在开区间内，若，有，则称是内的__________函数. 

 

03．设均为正数，则其几何平均与算术平均的不等式为_________.

 

04．设是二次可导的下凸函数，则_____________.

 

05．若，则在上是严格_________的.

 

06．若，且对于及，有，则称集合是            集.

 

07．是凸集，当且仅当中任意两点连线都在_________中.

 

08．设是从到上的连续函数，满足：（1）            ；（2）对于且，有. 则是以为底的对数函数.

 

09．设是定义在上的连续函数，满足：（1）___________；（2）存在实数，当时，，；（3）. 则分别称是正弦函数与余弦函数.

 

10．若点是函数的一个稳定点，且在点处有二阶连续偏导数，则函数在点处取得极小值的充分条件是：

且_____________

三、计算题（每小题6分，共30分）（请在答题输入框中输入“见附件”，题目的答案以附件的形式提交，要求写出解题过程）

12．1、

 

2、

 

3、

 

4、

 

5、

四、证明题（每小题6分，共30分）（请在答题输入框中输入“见附件”，题目的答案以附件的形式提交，要求写出解题过程）

13．1、

2、

3、

4、

5、